ENGRENAGES

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ENGRENAGES

Les engrenages sont des systèmes mécaniques qui permettent la transformation d’un mouvement de rotation en un autre mouvement de rotation, les deux rotations s’effectuant autour d’axes fixes l’un par rapport à l’autre. Ces axes peuvent être parallèles, concourants ou quelconques. Chargés de transmettre à l’arbre d’entrée du système récepteur l’énergie disponible sur un «axe moteur», les engrenages doivent résister aux brusques variations de régime et fonctionner de telle sorte que les vitesses angulaires des deux arbres restent dans un rapport constant. On exposera ici l’étude géométrique de cette dernière condition.

Surfaces primitives

Étant donné un repère de référence que l’on notera (O), repère lié à un bâti, et deux solides S1 et S2 tournant autour d’axes fixes par rapport à (O): 0,1, 0,2, on recherche les surfaces de contact 1 et 2 de S1 et de S2 pour qu’une rotation de S1 entraîne une rotation de S2 (cf. CINÉMATIQUE).

On définira les mouvements des solides S1 et S2 (roues) par rapport au repère (O) par les torseurs distributeurs des vitesses qui leur sont associés, et que l’on note01 et02.

La vitesse angulaire ゚ 0i du solide i (i = 1 ou 2) est la somme géométrique du torseur distributeur0i; et, comme les torseurs distributeurs obéissent à une loi de Chasles sur leurs indices, le taux de rotation du solide 1 par rapport au solide 2 est:

De manière générale, étant donné deux solides S1 et S2 en mouvement l’un par rapport à l’autre, on peut définir le champ des vitesses, par rapport au solide S1, des points liés au solide S2, et l’on sait que ce champ des vitesses est le champ des moments du torseur12; pour cette raison, le vecteur de champ (vecteur vitesse) est le même en tout point de l’axe du torseur distributeur12, et c’est sur cet axe qu’il possède un module minimal.

Il convient donc de rechercher l’axe central 1,2 du torseur distributeur des vitesses21, c’est-à-dire l’ensemble des points Q tels que le vecteur de champ en Q, ぬQ12, soit parallèle à 21. Pour cela, on choisit en premier lieu un repère (O) particulier, permettant des calculs simples, et que l’on construit de la façon suivante.

Soit のz un axe porté par la perpendiculaire commune aux axes 0,1 et 0,2 et coupant ces derniers respectivement aux points A et B, choisis de telle façon que leurs coordonnées soient respectivement (0, 0, 漣 h ), et (0, 0, h ). Les vecteurs unitaires et seront portés par les bissectrices des angles formés par les projections, sur le plan médiateur de AB, des axes 0,1 et 0,2 (fig. 1). Les vitesses angulaires peuvent donc s’écrire sous la forme:

où 見 est l’angle mesuré sur Oz du vecteur unité et du vecteur ゚02.

Appelons x , y , z les coordonnées de Q(OQ= x ゑ + y を + z ん ); il vient:

Les composantes de ぬQ sur le repère (O) particulier sont:

L’axe central est défini par les équations:

ou encore:

L’axe central de21 est donc perpendiculaire en M à la perpendiculaire commune aux axes centraux 0,1 et 0,2.

Cas particuliers importants

1. Si les axes centraux 0,1 et 0,2 sont parallèles, 見 = 0; les équations de l’axe central du torseur21 sont alors (fig. 2 et 3):

L’axe central 1,2 est, dans ce cas, l’axe instantané de rotation de21.
2. Si les axes centraux sont concourants, 見 0 et h = 0; les équations de l’axe central du torseur21 s’écrivent (fig. 4):

L’axe central est alors l’axe instantané de rotation21.

Cas général

Pour simplifier l’écriture, on notera désormais au lieu de 1,2. Dans le cas général, où 見 et h ne sont nuls ni l’un ni l’autre, le moment en un point Q de l’axe central du torseur21 n’est pas nul et est l’axe instantané de viration (cf. CINÉMATIQUE) du mouvement du solide 1 par rapport au solide 2. h et 見 étant donnés, la position de est définie en fonction du seul rapport 諸1/ 諸2 (comme précédemment, dans les cas particuliers). On remarque que, si 諸1 et 諸2 sont des fonctions qui dépendent du temps, mais dont le rapport est constant dans le temps, la position de est invariable.

L’axe coïncide à l’instant t avec les droites 1(t ) et 2(t ), qui, par définition, sont respectivement fixes dans les repères liés aux solides S1 et S2. L’ensemble des droites 1(t ) forme une surface axoïde liée au solide S1; de même, l’ensemble des droites 2(t ) forme une surface axoïde liée au solide S2, et ces deux surfaces sont tangentes suivant la droite .

Ces axoïdes sont appelés surfaces primitives des engrenages. Ce sont soit des cylindres, soit des cônes, selon que les axes 0,1 et 0,2 sont parallèles ou concourants (cylindres ou cônes roulant sans glisser l’un sur l’autre).

Dans le cas général, les axes ne sont ni parallèles ni concourants, et les axoïdes sont des hyperboloïdes de révolution à une nappe (hyperboloïdes roulant, pivotant et glissant l’un sur l’autre).

En fait, de tels engrenages gauches sont peu employés, car le glissement inévitable entre les organes diminue considérablement le rendement. Pour ces engrenages, les surfaces théoriques (hyperboloïdes de révolution) sont remplacées par des surfaces primitives simples de révolution, coniques ou cylindriques, tangentes aux hyperboloïdes théoriques.

Lorsque les surfaces primitives sont des cônes ou des cylindres, on peut les réaliser effectivement. En admettant une pression de contact suffisamment élevée, on obtiendrait une transmission de puissance sans glissement, mais nécessitant sur les paliers la présence d’efforts tels que le rendement serait médiocre. Cette construction n’est utilisable que pour la transmission de faible puissance et ne garantit pas le non-glissement des surfaces primitives l’une sur l’autre. C’est à cette fin que les surfaces primitives comportent des creux et des saillies qui forment les dents de ces engrenages.

Divers types d’engrenages

Engrenages à axes parallèles

Les profils sont les intersections des surfaces de denture d’une roue cylindrique par un plan perpendiculaire à l’axe de cette roue. Il faut que les surfaces en contact qui transmettent les efforts soient tangentes et que leur contact n’ait pas lieu sur un angle vif. Les surfaces de denture sont donc constamment tangentes; on dit que leurs profils sont conjugués. Les profils conjugués s’étudient soit par la méthode des enveloppes, soit par la méthode des roulettes, méthodes équivalentes pour la description des engrenages les plus courants. On mentionnera succinctement les engrenages à denture épicycloïdale, qui ne sont pratiquement plus employés. Les dents de ces engrenages étaient formées d’arcs d’épicycloïdes pour les flancs de tête et d’arcs d’hypocycloïdes pour les flancs de pied (fig. 5).

Détermination des profils conjugués par la méthode des roulettes

Dans le cas des engrenages à axes parallèles, un plan P perpendiculaire aux axes 0,1 et 0,2 coupe les cylindres primitifs (axoïdes) suivant deux cercles C1 et C2 (de centres 1 et 2) et l’axe au point I (fig. 6). Pour définir la denture, on fait intervenir le choix d’une courbe R tangente en I aux cercles C1 et C2 et roulant sans glisser sur ces deux cercles. À cette courbe R on lie invariablement (liaison géométrique) une courbe L, qui serait elle-même arbitraire si n’intervenaient pas, techniquement, des impératifs d’usinage.

Soit 1 et 2 les courbes enveloppes de la courbe L dans son mouvement par rapport à C1 et C2. Les roulements de R sur C1, de R sur C2 et de C1 sur C2 ont le point I comme centre instantané de rotation commun. Le point de contact de L avec son enveloppe 1 est le point M, pied de la normale abaissée de I sur L. Un raisonnement analogue conduit, pour L et son enveloppe 2, à la détermination du même point de contact M. Les courbes 1 et 2 ont même normale en M; elles sont donc tangentes et correspondent bien à des profils conjugués.

Un seul type de denture est employé de façon courante. Il s’agit de la denture dont le profil est une développante de cercle. Dans ce type de denture (fig. 7), les courbes R et L sont des droites.

Angle de pression et cercle de base

La droite L est invariablement liée à la droite R qui roule sans glisser sur les cercles C1 et C2, de rayon R1 et R2. L’angle compris entre les deux droites R et L est noté . Considérons une droite R normale à la droite L et passant toujours par le point I. On voit immédiatement que la droite R roule sans glisser sur un cercle C 1 de centre 1 et de rayon r 1 = R1 cos 﨏, où 﨏 est par définition l’angle de pression (angle des droites R et R ), dont la valeur est ( 神/2) 漣 . (Bien entendu, la droite R roule aussi sans glisser sur le cercle C 2 de centre 2 et de rayon r 2 = R2 cos 﨏.)

Soit P1 et P2 les points de contact de la droite R avec les cercles C 1 et C 2. Le point de contact des deux profils est le point M. En effet, la droite IM est la normale commune en M à L, 1 et 2. La droite R , lieu dans le repère (O) des points de contact des deux profils, s’appelle la ligne d’action de l’engrenage. La vitesse du point P1 est égale à la vitesse du point P2; on a donc:

On met en évidence par cette formule une propriété fondamentale des engrenages en développante de cercle : le rapport des vitesses angulaires des deux roues de l’engrenage ne dépend que des rayons r 1 et r 2 des cercles de base; il est indépendant de l’entraxe de fonctionnement (à condition que celui-ci permette le fonctionnement).

On n’a jusqu’alors raisonné que sur des figures planes, sections droites des roues d’engrenage. L’extension de ces figures à des figures dans l’espace peut se faire de deux manières différentes.

Pour les engrenages cylindriques à denture droite , les cercles correspondent à des cylindres d’axes parallèles entre eux et les droites correspondent à des plans parallèles aux axes des cylindres.

Pour les engrenages cylindriques à denture hélicoïdale (fig. 8), on fait correspondre aux cercles et à la droite R les mêmes éléments que précédemment; à la droite L correspond un plan 硫 non parallèle à l’axe des cylindres. Appelons 廓 l’angle compris entre et 嗀, 嗀 étant le sommet du dièdre plan formé par 硫 et le plan 倫 (plan passant par l’axe et la droite R). On démontre simplement que tan 見 = tan 廓cos 﨏. On retrouve par une démonstration analogue à celle qui est employée pour les engrenages cylindriques à denture droite que 諸1/ 諸2 = r 2/r 1 = R2/R1. La propriété fondamentale des engrenages à denture droite est également valable pour les engrenages à denture hélicoïdale.

On appelle apparentes les caractéristiques des roues d’engrenage observées dans le plan normal aux axes 0,1 et 0,2, et l’on qualifie de réelles celles des roues d’engrenage où intervient la pente de l’hélice primitive; par exemple, l’angle de pression réel 﨏r se déduit de la formule tan 﨏r = tan 﨏cos 廓. La forme des dents d’engrenage est normalisée; son choix conditionne l’épaisseur des dents, donc leur résistance. Il faut vérifier d’autre part que la continuité de la transmission est bien assurée (ce qui est toujours réalisé pour les dentures hélicoïdales); en effet, il doit toujours y avoir au moins une des dents de l’engrenage qui assure la transmission.

Le tableau donne les proportions des dentures normales.

Engrenages à axes concourants

Les méthodes précédemment employées pour les engrenages à axes parallèles s’appliquent aussi aux engrenages à axes concourants. Le profil est, dans ce cas, l’intersection des dents d’une roue conique avec une sphère dont le centre est au sommet du cône. On trouve également, dans ce type d’engrenage, des dentures droites et des dentures hélicoïdales. Signalons le cas le plus courant d’engrenages à axes quelconques matérialisés par le système dit à roue et vis sans fin.

Grâce à leur rendement particulièrement bon et à leur sûreté de transmission (absence de glissement), les engrenages sont des mécanismes omniprésents en mécanique. Protégés par leur carter, on les retrouve partout (montre, laminoir, boîte de vitesses, différentiel...).

Encyclopédie Universelle. 2012.

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